Formules de trigonométrie
Un article de Haypo.
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Sommaire |
[modifier] Propriétés
[modifier] Période
- cos(x + 2π) = cos(x) : Fonction périodique de période 2π
- sin(x + 2π) = sin(x) : Fonction périodique de période 2π
- tan(x + π) = tan(x) : Fonction périodique de période π
[modifier] Parité
- cos(-x) = cos(x) : Fonction paire
- sin(-x) = -sin(x) : Fonction impaire
- tan(x) = sin(x) / cos(x) *
- tan(-x) = -tan(x) : Fonction impaire
* : la fonction tan(x) n'est pas définie pour x ≡ ±π/2 (modulo π)
[modifier] Valeurs particulières
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|
| cos(x) | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 |
| sin(x) | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 |
| tan(x) | 0 | √3/3 | 1 | √3 | ±∞ | 0 |
[modifier] Limites
- Quand x tend vers 0, sin(x)/x tend vers 1
- Quand x tend vers π/2 par valeur inférieure, tan(x) tend vers ∞
- Quand x tend vers π/2 par valeur supérieure, tan(x) tend vers -∞
[modifier] Formules avec cosinus
[modifier] Cosinus d'une somme
- cos(a+b) = cos(a) × cos(b) - sin(a) × sin(b)
- cos(a-b) = cos(a) × cos(b) + sin(a) × sin(b)
- sin(a+b) = sin(a) × cos(b) + cos(a) × sin(b)
- sin(a-b) = sin(a) × cos(b) - cos(a) × sin(b)
[modifier] Somme de cosinus
- cos(p) + cos(q) = 2 * cos((p+q)/2) × cos((p-q)/2)
- cos(p) - cos(q) = 2 * sin((p+q)/2) × sin((q-p)/2)
- sin(p) + sin(q) = 2 * sin((p+q)/2) × cos((p-q)/2)
- sin(p) - sin(q) = 2 * cos((p+q)/2) × sin((p-q)/2)
[modifier] Produit de cosinus
- sin(a) * cos(b) = 1/2 × (sin(a+b) + sin(a-b))
- cos(a) * sin(b) = 1/2 × (sin(a+b) - sin(a-b))
- cos(a) * cos(b) = 1/2 × (cos(a+b) + cos(a-b))
- sin(a) * sin(b) = 1/2 × (cos(a-b) - cos(a+b))
[modifier] Cosinus de 2x
- cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2 = 2 × cos(x)^2 - 1 = 1 - 2 × sin(x)^2
- sin(2x) = 2 × sin(x) × cos(x)
- tan(2x) = 2 × tan(x) / (1 - tan(x)^2)
[modifier] Autres formules
- cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1
- tan(x)^2 + 1 = 1 / cos(x)^2
- cos(x)^2 = 1/2 × (1 + cos(2x)) = 1 - sin(x)^2
[modifier] Formule en tan(x/2)
Avec t = tan(x/2) :
- cos(x) = (1 - t²) / (1 + t²)
- sin(x) = 2t / (1 + t²)
- tan(x) = 2t / (1 - t²)
[modifier] Formule d'Euler
- cos(x) = 1/2 × (exp(i*x) + exp(-i*x))
- sin(x) = 1/2i × (exp(i*x) - exp(-i*x))
Ces formules permettent de redémontrer la majorité des formules citées plus haut.
Note: i est le nombre imaginaire tel que i^2 = (-1).
